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Multiplicando em grade

Uma coisa interessante que a minha esposa me contou outro dia, depois de ter visto a coisa em um programa na TV no Facebook, foi um método de multiplicação que eu não conhecia. Descobri que se trata do que os matemáticos chamam de multiplicação em grade, ou lattice multiplication.

Imaginem multiplicar 36 \times 27. Na escola, já há muitos anos, aprendi a colocar os números uns sobre os outros e, em seguida, multiplicar primeiro o 7 por cada um dos números em 36 e depois o 2, também por cada um deles, somando as parcelas e obtendo o resultado:

(1)   \begin{equation*} \opmul{36}{27} \end{equation*}

Fiquei intrigado ao perceber que a multiplicação em grade chega aos mesmos resultados apresentados acima, porém fazendo com que se precise pensar em diagonal para efetuar os cálculos. A primeira coisa a se fazer é desenhar quatro quadrados, dois em cima, dois embaixo, dividindo cada um deles com uma linha diagonal — assim, você estará criando a grade:

Primeiro passo

Em seguida, os números a serem multiplicados — neste caso, 36 27 devem ser escritos nas partes superior e direita dos quadrados, conforme demonstro a seguir:Segundo passo

Agora deve-se preencher as diagonais criadas multiplicando-se os números de cada linha pelos de cada coluna. Abaixo, dado que 6 \times 2 é igual a 12, a multiplicação deve ser indicada dessa maneira:

Terceiro passo

Para continuar as operações, multiplica-se 2 \times 3, cujo resultado deve ser preenchido conforme abaixo, usando-se um zero à esquerda, ou seja, 06:

Quarto passo

Se o raciocínio anterior for aplicado também para multiplicar 7 \times 6 e, em seguida, 7 \times 3, o resultado a seguir será obtido:

Quinto passo

Finalmente chega o momento de pensar diagonalmente, como eu mencionei há pouco. Deve-se somar, da direita para a esquerda, todas as diagonais que a grade de multiplicação formar. Para ilustrar melhor eu prolongarei as diagonais e demonstrei com cores diferentes as somas:Sexto passo

Veja que o resultado da multiplicação aparece da esquerda para a direita, ou seja, também se chega à conclusão de que 36 \times 27 = 972.

Pegadinha: Quando a soma das diagonais é maior que 9, o que eu faço?

Ao fazer alguns exercícios usando a multiplicação em grade, me deparei com uma situação interessante: Você vai acabar se deparando com situações em que a soma dos números de uma diagonal será maior do que 9.

Agora, imagine multiplicar 28 \times 47. Pelo meio convencional, teríamos:

(2)   \begin{equation*} \opmul{28}{47} \end{equation*}

Ou seja, pela multiplicação em grade precisamos chegar aos mesmos 1316. Mas vejamos o que acontece se usarmos o mecanismo da mesma forma que ilustrei anteriormente, assim:

Números maiores que 9: o que fazer?

A resposta, que novamente deve ser lida da esquerda para a direita, seria, neste caso, 112.116, o que nem de perto lembra os 1316 que a multiplicação convencional encontrou. Assim, nota-se que um número de dois dígitos que surja da soma de uma diagonal não deve ser considerado como resposta imediatamente, e sim, usado para construir a resposta final.

O que precisamos fazer é algo parecido com a soma aritmética — a regra do vai-um. Lembrando: Dado que estamos somando as diagonais da direita para a esquerda, quando nos depararmos com um número de dois dígitos aparecendo no resultado, devemos deixar o dígito da direita e somar 1 à próxima diagonal. Assim:

grade08

Assim, usando este velho e conhecido artifício, fazemos com que o método de multiplicação em grade obtenha o mesmo resultado esperado, 1316.

Origem da multiplicação em grade

Tendo aparecido no primeiro livro impresso de aritmética da história, em Treviso, Itália, no ano de 1478, a multiplicação em grade, também conhecida como multiplicação da peneira (sieve multiplication) ou lattice multiplication foi introduzida na Europa por Fibonacci, mas há registros de que os árabes e os chineses tenham usado o mesmo mecanismo, tornando impreciso saber qual foi sua primeira aparição.

É interessante notar este tipo de multiplicação não será considerada mais simples por muita gente habituada a multiplicar do jeito convencional, ou seja, daquela forma como eu, você e todo mundo aprendemos na escola. Ainda assim, foi meu interesse por essa verdadeira curiosidade matemática — e o fato de eu ter dois filhos pequenos que podem aprender com isso — que me fizeram buscar pelo menos dois argumentos usados para seu ensino em diversas escolas, ainda no século XXI:

  • O método pode ajudar os alunos mais novos a alinhar os dígitos, já que muitos deles não fazem a escrita de números exatamente um embaixo do outro (vamos convir que mesmo alguns adultos não o fazem).  As diagonais acabam por fazer o alinhamento automaticamente e assim a criança não chega a uma resposta errada por conta desse deslize;
  • O método também pode ajudar as crianças mais novas a entenderem o caminho a percorrer quando se passa das multiplicações mais simples — com apenas um dígito — para aquelas mais complexas. Assim, pode ser considerado muitas vezes mais didático do que seu primo convencional, que usamos sempre. Na prática, isso pode depender do nível da criança e de sua idade.

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